Enviar formulario por email y a una págian php

Ya me respondo yo solo porque he encontrado la solución. Espero que a alguien le venga bien.
Necesitamos dos archivos .php. Uno enviará la información a otro y éste la recibirá y la enviará por correo utilizando la función mail(), que no suele funcionar en alojamientos gratuitos. Cuelgo los códigos para que los veáis.

Enviar.php (dentro de un <form>)
<?php
if (!$HTTP_POST_VARS){
?>
<p>Si quieres contactar con nosotros rellena el siguiente formulario y en breve te daremos una respuesta.</p>
<form action="form.php" method="post">
<table summary="Formulario de contacto Yagüe F.C." width="96%" border="1">
<caption>
Datos personales
</caption>
<tr>
<th scope="row">Nombre:</th>
<td><input type="text" id="nombre" name="nombre" size="40" /></td>

</tr>

<tr>
<th scope="row">Apellidos:</th>
<td><input type="text" id="apellidos" name="apellidos" size="40" /></td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Dirección:</th>
<td><input type="text" id="direccion" name="direccion" size="40" /></td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Teléfono:</th>
<td><input type="text" id="telefono" name="telefono" size="40" /></td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Ciudad:</th>
<td><input type="text" id="ciudad" name="ciudad" size="40" /></td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">E-mail:</th>
<td><input type="text" id="correo" name="correo" size="40" /></td>
</tr>
<tr>
<th valign="top" scope="row"><strong>Escribe aquí tus comentarios:</strong>
<div style="margin-top:20%"> <input name="botón" type="submit" value="Enviar" /></div>
</th>
<td><textarea name="comentario" id="comentario" cols="40" rows="10"></textarea></td>
</tr>
</table>
</form>
<?php
}else{

echo "Ha ocurrido un error";
}

?>

Recibir.php
<?php
if ($HTTP_POST_VARS){

$_POST["nombre"]=$nombre;
$_POST["apellidos"]=$apellidos;
$_POST["direccion"]=$direccion;
$_POST["telefono"]=$telefono;
$_POST["ciudad"]=$ciudad;
$_POST["correo"]=$correo;
$_POST["comentario"]=$comentario; ?>
<strong>Nombre: </strong> <?php echo "$nombre";?><br/>
<strong>Apellidos: </strong> <?php echo "$apellidos";?><br/>
<strong>Dirección: </strong> <?php echo "$direccion";?><br/>
<strong>Teléfono: </strong> <?php echo "$telefono";?><br/>
<strong>Ciudad: </strong> <?php echo "$ciudad";?> <br/>
<strong>E mail: </strong> <?php echo "$correo";?> <br/>
<strong>Comentario:</strong> <?php echo "$comentario";?> </p>

<?php
$cuerpo .="Formulario del contacto"."<br />";
$cuerpo .="NOMBRE: ".$HTTP_POST_VARS["nombre"]."
"."<br />";
$cuerpo .="APELLIDOS: ".$HTTP_POST_VARS["apellidos"]."
"."<br />";
$cuerpo .="DIRECCIÓN: ".$HTTP_POST_VARS["direccion"]."
"."<br />";
$cuerpo .="TELÉFONO: ".$HTTP_POST_VARS["telefono"]."
"."<br />";
$cuerpo .="CIUDAD: ".$HTTP_POST_VARS["ciudad"]."
"."<br />";
$cuerpo .="CORREO: ".$HTTP_POST_VARS["correo"]."
"."<br />";
$cuerpo .="COMENTARIOS: ".$HTTP_POST_VARS["comentarios"]."
"."<br />";

$headers="MIME-Version: 1.0
";
$headers.= "Content-type: text/html; charset=iso-8859-1
";

mail("direcciondedestino@loquesea.com","Formulario recibido",$cuerpo,$headers);
}else{
echo "ALGO FALLA !!!!";
}
?>